微積分
教師: 蔡炎龍

2014/11/20 ~ 2015/01/21
17小時/9週 (報名結束)

摘要

 強調觀念:不只學會微積分的內容、基本觀念, 也知道需要這些工具背後的原因。  實務操作:抽象理論之外, 還強調實際的演算。必需能把微積分工具運用自如。  電腦互動:使用免費數學軟體 GeoGebra, 提供多個創意演練, 可以學習、試驗乃至「玩」微積分。

課程目標

學習微積基本概念並且能運用自如。透過電腦方面的使用, 可以更深入理解微積分、對數學有進一步的認識。學習到的微積分可以運用在各領域中, 學習思考方式更可以運用在日常事務中。

授課教師

  • 教師姓名:蔡炎龍
  • 教師簡介:

    美國加州大學爾灣校區數學博士
    現任政治大學應用數學系副教授
    曾任政治大學教發中心數位學習組組長、應用數學系系主任、清華大學兼任教師、國家理論科學研究中心博士後研究
    曾支援高瞻計畫,並於多所中學推廣 GeoGebra 應用於數學教學。

課程進度表

第1週:第一週 基本概念

第2週:第二週 開始微分

第3週:第三週 快速求微分的技巧

第4週:第四週 函數的描繪

第5週:第五週 指數對數

第6週:第六週 積分介紹

第7週:第七週 三角函數

第8週:第八週 數列與收斂性

第9週:第九周 小專題

課程內容

週次

單元名稱

內容綱要

第一週

課程簡介

課程介紹, 包括學習目標及要求。

函數的觀念

為什麼要學習函數, 函數和微積分的關係。

GeoGebra 教學 1

GeoGebra 函數的畫法與圖形輸出。

GeoGebra 教學 2

GeoGebra 動畫技巧。

函數的極限

極限的概念和定義。

單邊極限

單邊極限判斷極限存在性。

極限的求法

極限求法問題演練。

GeoGebra 教學 3

條件判斷式與分段定義函數。

連續的概念

連續函數的概念和定義。

連續函數的種類

連續函數的型態和實例練習。

GeoGebra 練習 01

串起「變形的高斯」函數。

GeoGebra 練習 02

連續函數破壞王!

第二週

斜率與變化率

介紹斜率與變化率的關係。

微分的目標

介紹微分與求切線的關係。

切線

求切線的方法、為什麼我們喜歡切線。

導數的求法與範例 01

導數的基本性質與例子之一。

導數的求法與範例 02

導數的基本性質與例子之二。

導數的綜合運用

導數的實際練習。

GeoGebra 練習 03

指定切線切點的二次函數。

GeoGebra 練習 04

平滑接起兩段函數。

微分祕技 01

乘法公式應用。

微分祕技 02

除法公式應用。

微分範例 01

微分技巧的綜合練習之一。

第三週

微分祕技 03

連鎖律原理與應用。

微分範例 02

微分技巧的綜合練習之二。

隱函數的微分

什麼是隱函數、隱函數如何求導數。

高階導數

高階導數的定義及符號。

不可微分的函數

不可微分函數的討論: 到底有多少種不可微分的型式?

GeoGebra 練習 05

可微函數破壞王!

函數繪圖簡介

函數繪圖引言: 函數繪圖三步曲。

水平漸近線

介紹水平漸近線。

垂直漸近線

介紹垂直漸近線。

GeoGebra 練習 06

可愛的囧函數: 指定水平、垂直漸近線的函數。

第四週

遞增函數和遞減函數

導數和函數遞增遞減性的關係。

相對極值 01

神祕的臨界點。

相對極值 02

相對極值判別法。

尋找相對極值

計算相對極值的實例。

GeoGebra 練習 07

指定極值的函數。

函數繪圖實例 01

用漸近線、相對極值求函數圖形。

反曲點

反曲點的概念與求法。

函數繪圖實例 02

函數三步曲畫圖。

絕對極值

絕對極值的求法。

隱函數的微分

隱函數微分法。

隱函數微分的應用

簡化一些微分。

GeoGebra 練習 08

變化的隱函數。

第五週

指數函數

指數函數的定義、特性及應用。

複利

複習複利公式。

自然指數函數

複利公式隱藏的自然指數函數。

GeoGebra 教學 4

GeoGebra 文字強調顯示

對數函數

對數函數的定義、概念及應用。

對數函數的導數

對數函數的導數。

指數函數的導數

指數函數導數的推導及運算。

應用實例

指對數函數的應用實例

GeoGebra 練習 09

消失在水平線的函數。

GeoGebra 練習 10

跳舞的人。

第六週

積分介紹

真的積分和假的積分。

反導數是什麼?

反導數的基本概念。

反導數的求法

基本的反導數性質

黎曼和求積分

黎曼和估計面積的方法。

面積與定積分

定積分的定義。

GeoGebra 練習 10

GeoGebra 與積分。

微積分基本定理推導

微積分基本定理概念及證明。

微積分基本定理應用

微積分基本定理。

積分終極技巧 01

代換積分法技巧。

代換積分法練習

換積分法實例。

第七週

積分終極技巧02

部分積分法作法。

部分積分法練習

部分積分法的實例練習。

基本三角函數

高中基本三角函數復習

三角函數的導數

三角函數的導數。

三角函數的積分 01

三角函數積分基礎篇。

三角函數的積分 02

三角函數積分進階篇。

瑕積分

說明為何有問題的積分我們還要算、要怎麼算。

GeoGebra 練習 11

初嚐傅利葉級數。

第八週

數列和級數

數列和級數的概念

級數的斂散性01

級數斂散性的概要。

級數的斂散性02

級數斂散性進階討論。

泰勒多項式

把所有函數化成多項式的神奇方法。

泰勒級數

完全逼近一個函數的夢想。

快速決定泰勒級數

快速決定泰勒級數的方法。

泰勒級數的誤差估計

泰勒級數逼近的誤差。

GeoGebra 練習 12

動態看泰勒級數。

小專題

不定型極限

羅必達法則的介紹。

微分方程簡介

什麼是微分方程式。

分離變數法

微分方程式的基本解法。

微分方程與成長曲線

成長及衰退曲線的討論。

上課形式

  1. 作業由同儕互評。由教學助教收集各種評分等級同學作業樣本, 與教師討論。特優作業發「線上獎章」。
  2. 單元設線上教學意見或簡單測驗。
  3. 教師依上述回饋,對較難的單元加以補充。較難的題目由教師或教學助教錄製參考解答。
  4. 同學可加入「線上好友」,一同學習,可獲團隊點數。

安排教學助教線上回應同學問題。

評分標準

  • 作業 (互評)  50%
  • 線上小考    50%

通過標準


課程及格標準:60分滿分:100分

先修科目或先備能力

  • 高中數學, 尤其是基本的代數、幾何概念。

建議參考書目

《商用微積分》第二版  林光賢、陳天進、劉明郎著 華泰出版